Stirling公式

斯特灵公式（Stirling Approximation）是一条用来取n阶乘近似值的数学公式。一般来说，当n很大的时候，n阶乘的计算量十分大，所以斯特灵公式十分好用，而且，即使在n很小的时候，斯特灵公式的取值已经十分准确。

$n! \approx \sqrt{2\pi n}(\frac{n}{e})^n$

这个公式最早是亚伯拉罕·棣莫弗首先发现的，形式为

$n!\sim 常数\times n^{n+1/2}e^{-n}$

斯特灵证明了公式中的常数为 $\sqrt{2\pi}$ 。

斯特灵公式的一个直观的、非严格的推导如下：

$\begin{align}ln\ (n!) &= ln\ 1 + ln\ 2 + ... + ln\ n \\ &\approx \int_1^n ln(x)dx \\ &= nln\ n-n+1 \end{align}$

下图为 $ln n!$ 与 $nln\ n -n$ 的收敛图。

Stirling Approximation

Stirling公式的意义在于:当n足够大之后n!计算起来十分困难,但利用Stirling公式可以将阶乘转化成幂函数,使得阶乘的结果得以更好的估计.而且n越大,估计得就越准确。