泊松分布

若随机变量 $X$ 的可能取值为0,1,2，…,且概率分布为

$P(X = i) = \frac{e^{-\lambda}\lambda^i}{i!} .........公式(1)$

则 $X$ 服从泊松分布，常记为 $X$ ~ $P(\lambda)$ 。此处， $\lambda$ >0是某一常数.

由于

$e^\lambda=\sum_{i=0}^{\infty}\frac{\lambda^i}{i!}.........公式(2)$

可知公式(1)右边对 $i=0,1,...$ 求和的结果为1.

泊松分布是最重要的离散分布之一，它多出现在当 $X$ 表示在一定的时间或空间内出现的时间个数这种场合。在一定时间内某交通路口所发生的事故个数，是一个典型的例子。泊松分布的产生机制可以通过如下例子来解释。

为方便记，设所观察的这段时间为[0,1),取一个很大的自然数$n$，把时间段[0,1)分为等长的 $n$ 段：

$l_1 = [0,\frac{1}{n}],l_2 = [\frac{1}{n},\frac{2}{n}],...,l_i = [\frac{i-1}{n},\frac{i}{n}],...,l_n = [\frac{n-1}{n},1]$

我们做如下两个假定：

在每段 $l_i$ 内，恰发生一个事故的概率，近似的与这段时间的长 $\frac{1}{n}$ 成正比，可设为 $\frac{\lambda}{n}$ 。当 $n$ 很大时， $\frac{1}{n}$ 很小时，在 $l_i$ 这么短暂的一段时间内，要发生两次或者更多次事故是不可能的。因此在$l_i$这段时间内不发生事故的概率为$1-\frac{\lambda}{n}$。
$l_i,...,l_n$ 各段是否发生事故是独立的

把在[0,1)时段内发生的事故数 $X$ 视作在 $n$ 个划分之后的小时段 $l_i,...,l_n$ 内有事故的时段数，则按照上述两个假定， $X$ 应服从二项分布 $B(n,\frac{\lambda}{n})$ 。于是，我们有

$P(X = i) = {n \choose i}(\frac{\lambda}{n})^i(1-\frac{\lambda}{n})^{n-i}$

注意到当 $n\rightarrow \infty$ 取极限时，我们有

$\frac{n \choose i}{n^i}\rightarrow \frac{1}{i!}, (1-\frac{\lambda}{n})^n\rightarrow e^{-\lambda}$

因此

$P(X = i) = {n \choose i}(\frac{\lambda}{n})^i(1-\frac{\lambda}{n})^{n-i}\\=\frac{e^{-\lambda}\lambda^i}{i!}$

从上述推导可以看出：泊松分布可作为二项分布的极限而得到。一般的说，若 $X \sim B(n,p)$ ,其中 $n$ 很大， $p$ 很小，因而 $np=\lambda$ 不太大时， $X$ 的分布接近于泊松分布 $P(\lambda)$ 。这个事实有时可将较难计算的二项分布转化为泊松分布去计算。